Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os três lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidina, o teorema afirma que:

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.

Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam.

O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:

Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.

Para ambos os enunciados, pode-se equacionar:

onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros dois lados.

O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demostração [1] embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que matemáticos babilônicos conheciam algoritmos para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).[3][4][5]

O teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, do matemático persa Ghiyath al-Kashi (1380 – 1429), que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de dois lados e a medida de algum dos três ângulos.

Gráficos de Setores

Atualmente a Matemática dispõe de ferramentas tecnológicas  no intuito de dinamizar os cálculos e as representações gráficas. Quanto aos gráficos podemos utilizar programas específicos na sua elaboração, o Excel e o Calc são ferramentas muito utilizadas nesse sentido, mas as representações gráficas também podem ser produzidas de forma artesanal, a seguir iremos demonstrar como construir um gráfico de setores ou de pizza, como muitos o definem. 

Para representar os dados em um gráfico de setores é preciso que os valores estejam em porcentagem, para isso devemos definir a frequência relativa dos dados observados. Vamos trabalhar com o seguinte modelo de exemplo: 
Uma escola realizou uma pesquisa com seus 400 alunos do Ensino Médio sobre a preferência por modalidades esportivas. Os dados foram distribuídos em uma tabela, veja: 


FA: frequência absoluta
FR: frequência relativa 

Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão distribuídos levando-se em conta a proporção da área a ser representada relacionada aos valores das porcentagens. A área representativa no gráfico será demarcada da seguinte maneira:

Concluímos que 1% corresponde a 3,6º, dessa forma podemos calcular os ângulos dos dados percentuais da seguinte maneira:

Para construir o gráfico esboçamos uma circunferência marcando o seu raio, e, com o auxílio do transferidor, traçamos um ângulo com vértice no centro da circunferência, relativo à primeira porcentagem.

Em seguida, ao marcar o próximo ângulo, devemos considerar o raio traçado, referente à porcentagem anterior, como um dos seus lados e o centro da circunferência como seu vértice. Repita o procedimento até que todos os ângulos sejam marcados. Vale lembrar que o centro da circunferência será o vértice de todos os ângulos. Feita a marcação dos ângulos, basta pintar os setores, fazer a anotação das porcentagens e construir uma legenda. Observe o gráfico pronto:

Créditos: mundoeducação

A Geometria do Futebol: um Facilitador no Ensino Aprendizagem

RESUMO

BOAS, R. A. V., A Geometria do futebol: Um facilitador no ensino aprendizagem. 2008. 43 f. Monografia (Graduação em Matemática) * Centro Universitário de Lavras - UNILAVRAS, Lavras, 2008.

O objetivo desta monografia foi trabalhar os conceitos geométricos no futebol. Mostrar que a Matemática, em particular, a Geometria, pode ser uma ferramenta para interpretar uma partida de futebol e suas características, ou seja, mostrar que a Geometria é o ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso. Através de uma análise detalhada de vários autores, mostraremos que a Matemática, em especial a Geometria é uma ciência muito interessante, muito importante no nosso dia-a-dia e muito instigante. Porém nossa sociedade coloca a Matemática como uma disciplina complicada, difícil e aterrorizante. Através da Educação Matemática podemos demonstrar o contrário, podemos mostrar como a Matemática, a Geometria é fascinante, gostosa e útil. Sendo a Geometria um ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso, ela é um caminho para desenvolver o pensamento e a compreensão para alcançar o nível mais alto de uma teoria formal. Já que a Geometria é o ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso, temos que usar nossa imaginação e mostrar como a Geometria está presente no nosso dia-a-dia, em todos os lugares: principalmente nos campos de futebol, nas quadras de esporte, na arquitetura, na engenharia, nas embalagens dos produtos, no artesanato e na tecelagem, por isso a Geometria é descrita como um corpo de conhecimento fundamental para a compreensão do mundo e participação ativa do homem na sociedade, pois facilita a resolução de problemas de diversas áreas do conhecimento e desenvolve o raciocínio visual.

Palavras-chaves: Futebol; Geometria; Esquemas táticos; Aplicações.

* Comitê Orientador: Valéria Andrade Villela ? UNILAVRAS (Orientadora)
 

1 INTRODUÇÃO

Trata-se no presente trabalho dos conceitos geométricos, em especial os conceitos da Geometria Plana aplicados ao futebol de um modo geral. Mostra a Geometria de outra maneira, ou seja, uma Geometria aplicada a um esporte que é a paixão nacional. Vamos trabalhar Geometria falando a linguagem do aluno e abordando assuntos discutidos a todo instante. Associamos um esporte popular, de massa, a uma disciplina que é considerada difícil, chata, aterrorizante, que poucos gostam, ou seja, a Matemática.
Quem nunca ouviu falar do quadrado mágico que foi rotulado pelos jornalistas e treinadores de todo o mundo com referência a qualidade dos jogadores brasileiros na Copa do Mundo de Futebol realizada na Alemanha em 2006. As triangulações sempre citadas nos comentários de qualquer partida de futebol. Os esquemas táticos: 4-4-2, 3-5-2, 4-3-3, alguém já analisou o desenho geométrico, ou seja, as figuras que esses esquemas formam?

O objetivo desta monografia foi trabalhar os conceitos geométricos no futebol. Mostrar que a Matemática, em particular, a Geometria, pode ser uma ferramenta para interpretar uma partida de futebol e suas características, ou seja, mostrar que a Geometria é o ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a Matemática como um recurso.

Inicialmente esclareceremos como é a Educação Matemática que temos que abordar nos dias atuais. Após, serão tratados alguns conceitos matemáticos, em especial alguns tópicos de Geometria Plana. Por fim abordaremos a parte aplicada ao futebol, desde a bola de futebol, o campo de jogo, suas medidas, algumas curiosidades e as diferentes variações táticas de diversos times de futebol.

Deste modo o presente trabalho será de grande valia, pois pode - se trabalhar de uma forma diferente um assunto que é visto por todos como de difícil entendimento. Ensinar com criatividade, baseando-se no dia - a - dia do aluno, mostrando que a Matemática especificamente a Geometria, não são apenas fórmulas e cálculos.

A Importância da Geometria Plana Para a Sociedade: Uma Análise do Ensino Fundamental.

Resumo: 

Da necessidade dos povos antigos de construir navios, casas, medirem terrenos, calcular distâncias, surgiu a Geometria Plana, pois era preciso sistematizar as aplicações usadas no dia-a-dia uma vez que as formas geométricas estavam presentes na maioria das atividades realizadas por eles. Neste sentido faremos uma síntese do surgimento da Geometria Plana, com a finalidade de mostrar sua praticidade para a nossa sociedade.
Além disso, abordaremos a forma como a geometria plana vem sendo trabalhada no ensino fundamental. Sugerindo soluções para uma exploração mais profunda no conteúdo de euclidiana, acreditando que ela é de suma importância para a matemática e as pessoas.


Palavras chave: Geometria Plana, Tangram, Formas Geométricas.


O Surgimento da Geometria Plana. Porque ela é Chamada de Euclidiana.

As civilizações antigas descobriram a geometria plana através da experimentação, sendo que os gregos foram os primeiros a sistematizar o que até então era uma prática empírica. Isso em grande parte se deve ao fato de que os gregos precisavam medir suas terras a fim de organizar o território, definir limites. Tanto que a palavra geometria no seu sentido próprio deriva do grego “geometrein” e significa medição de terras – geo: terra, metrein: medir, herédoto foi um dos precursores da idéia de usar geometria plana neste sentido.
“disseram-me ainda os sacerdotes que Sesóstris realizou a partilha das terras, concedendo a cada egípcio uma porção igual, com a condição de lhe ser pago todos os anos certo atributo. Se o rio carregava alguma parte do lote de alguém, o prejudicado ia procurar o rei e expor-lhe o acontecido. O soberano enviava agrimensores ao local para
determinar a redução sofrida pelo lote, passando o dono a pagar um tributo proporcional à posição restante. Eis, segundo me parece, a origem da geometria, que teria passado desse país para a Grécia.” (Heródoto, p. 116. ?)
Muitos são responsáveis pelo surgimento e consolidação da geometria plana como ramo da matemática, podemos citar Platão, Pitágoras, Eudoxo, entre outros que fizeram da geometria plana uma ciência especial no mundo da matemática, mas foi Euclides o responsável direto pela sistematização dessa ciência até então empírica. “Euclides sistematizou em sua clássica obra, os elementos, os principais conhecimentos trabalhados pelos seus antecessores, dando um caráter axiomático-dedutivo ao conhecimento geométrico da época.” (Piaget e Garcia, 1987).
Desta forma evidenciamos a importância histórica da geometria plana tanto para a matemática como pra sociedade em geral. “A abordagem da geometria feita por Euclides dominou o ensino desse campo da matemática por mais de dois mil anos, sendo o método axiomático, por ele empregado, a base do que chamamos de “matemática pura.” (Greemberg, 1980). Se hoje temos uma geometria plana sólida e eficaz, devemos isso as civilizações antigas que souberam explorar e sistematizar essa ciência espetacular e extremamente útil em vários setores.


Considerações finais:

Fica claro que o ser humano para seu desenvolvimento intelectual ou apenas dele como cidadão, necessita ser um bom observador da sua realidade, pois vimos que a geometria plana como ciência vital que a conhecemos hoje, nasceu desse modo. Criar no aluno a característica de critico daquilo que está a sua volta é papel fundamental do professor.
Desta forma, ensinar geometria plana é muito mais que repassar conteúdo é além disso uma atividade com potencial de tornar um aluno capaz de raciocinar e conhecer melhor o mundo a sul volta, pois geometria plana está em toda parte e cada parte do que conhecemos está inserido nela. Acreditamos nela como ciência e do professor como o responsável pela sua divulgação, através de novas metodologias e boa vontade de ensinar.

O termo Ilusão de óptica aplica-se a todas ilusões que "enganam" o sistema visual humano fazendo-nos ver qualquer coisa que não está presente ou fazendo-nos vê-la de um modo erróneo. Algumas são de carácter fisiológico, outras de carácter cognitivo.

As ilusões de óptica podem surgir naturalmente ou serem criadas por astúcias visuais específicas que demonstram certas hipóteses sobre o funcionamento do sistema visual humano. Imagens que causam ilusão de óptica são largamente utilizados nas artes, por exemplo nas obras gráficas de M. C. Escher.

A explicação possível das ilusões óticas é debatida extensamente. No entanto, os resultados da investigação mais recente indicam que as ilusões emergem simplesmente da assinatura do modo estatístico e empírico como todos os dados perceptivos visuais são gerados[1].

Os circuitos neuronais do nosso sistema visual evoluem, por aprendizagem neuronal, para um sistema que faz interpretações muito eficientes das cenas 3D usuais, com base na emergência no nosso cérebro de modelos simplificados que tornam muito rápida e eficiente essa interpretação mas causam muitas ilusões ópticas em situações fora do comum.

A nossa percepção do mundo é em grande parte auto-produzida. Os estímulos visuais não são estáveis: por exemplo, os comprimentos de onda da luz reflectida pelas superfícies mudam com as alterações na iluminação. Contudo o cérebro atribui-lhes uma cor constante. Uma mão a gesticular produz uma imagem sempre diferente e, no entanto, o cérebro classifica-a consistentemente como uma mão. O tamanho da imagem de um objecto na retina varia com a sua distância mas o cérebro consegue perceber qual é o seu «verdadeiro» tamanho. A tarefa do cérebro é extrair as características constantes e invariantes dos objectos a partir da enorme inundação de informação sempre mutável que recebe. O cérebro pode também deduzir a distância relativa entre dois objectos quando há sobreposição, interposição ou oclusão. E pode deduzir a forma de um objecto a partir das sombras. O que implica uma aprendizagem da perspectiva linear. No entanto, existem vários tipos de ilusões de distância e profundidade que surgem quando esses mecanismos de dedução inconsciente resultam em deduções errónea.

A ilusão de óptica na geometria.

A origem da geometria.

A geometria é a parte da matemática cujo objeto é o estudo do espaço e das figuras que podem ocupá-lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições,teoremas e corolários, sendo que essas afirmações e definições são usados para demonstrar a validade de cada teorema.

A geometria permite-nos o uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.^[1]

A influência da geometria sobre as ciências físicas foi enorme. Como exemplo, quando o astrônomo Kepler mostrou que as relações entre as velocidades máximas e mínimas dos planetas, propriedades intrínsecas das órbitas, estavam em razões que eram harmônicas — relações musicais —, ele afirmou que essa era uma música que só podia ser percebida com os ouvidos da alma — a mente do geômetra.

Com a introdução do plano cartesiano, muitos problemas de outras áreas da matemática, como álgebra, puderam ser transformados em problemas de geometria, muitas vezes levando a facilitação das soluções.

Pitágoras , o mestre da matemática!

Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como os referentes a viagens e contatos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que o filósofo tenha nascido em 570 a. C. na cidade de Samos

Fundou uma escola mística e filosófica em cronista (colônias gregas na península itália), cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental sendo os principais temas a harmonia matemática, a doutrina dos números e o dualismo cósmico essencial.

Acredita-se que Pitágoras tenha sido casado com a física e matemática grega Theano, que foi sua aluna. Supõe-se que ela e as duas filhas tenham assumido a escola pitagórica após a morte do marido.

Pitágoras cunhado em moeda.

Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares - os números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação -, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas.

Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as idéias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos (já que há obscuridades em torno do pitagorismo, devido ao caráter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta foi enunciada no teorema de Pitágoras.

Pitágoras foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu, provavelmente em 496 a.C. ou 497 a.C..